Que sont les mathématiques?

Les mathématiques constituent une science d’étude des quantités, des ordres, des espaces, des nombres et des figures.

SOURCE : http://dms.umontreal.ca/fr/notre-departement/qu-est-ce-que-les-mathematiques


Pourquoi étudier les mathématiques?

Étudier les mathématiques est un excellent choix pour celle ou celui qui a le goût des défis intellectuels et le sens de l'analyse et de l'abstraction. En vous inscrivant en mathématiques, vous entrez dans une filière qui développera vos potentialités intellectuelles, vous apportera la rigueur scientifique et vous ouvrira de nombreuses portes dans des professions stimulantes et variées. Nous vivons dans un monde de science et de haute technologie et une société basée sur l'information, cette société a besoin de mathématiciens.

SOURCE : https://wiki.epfl.ch/info-math/pourquoi



Le contenu du cours

À la fin du semestre, tu seras capable de:

Module A : 

RAS 1

• B1. illustrer différentes notations qui décrivent des fonctions et des intervalles;
• B2. exprimer le domaine et l’image d’une fonction en notation d’intervalles;

RAS 2

• B3. exprimer algébriquement pour deux fonctions données la somme, la différence, le produit et le quotient;
• B4. exprimer algébriquement la composition de deux fonctions au moins;

RAS 3

• B5. décomposer en facteurs des expressions algébriques polynomiales comportant des exposants entiers et rationnels afin de simplifier des expressions algébriques;

RAS 4

• B6. résoudre des équations et des inéquations algébriques dans l’ensemble;

RAS 5

• B7. expliquer, à l’aide d’exemples, la notion de la limite d’une fonction;
• B10. identifier des exemples de fonctions ayant des limites à gauche et des limites à droite, et des exemples de fonctions sans limite;
• B12. illustrer, à l’aide d’exemples appropriés, les règles de calcul de la limite d’une somme, d’une différence, d’un multiple, d’un produit, d’un quotient, d’une puissance et d’une racine nième;
• B13. utiliser les règles des limites et un outil technologique approprié pour déterminer la limite d’une fonction algébrique, si elle existe, lorsque la variable indépendante tend vers une valeur donnée;

RAS 6

• B11. identifier les intervalles où une fonction donnée est continue ou discontinue et redéfinir la fonction discontinue en vue de supprimer la discontinuité;
• B14. utiliser les règles des limites et un outil technologique approprié pour déterminer la limite d’une fonction algébrique, si elle existe, lorsque la variable indépendante tend vers ± ∞;
• B15. utiliser les règles des limites pour déterminer les asymptotes d’une fonction.

RAS 7

• B8. faire le lien entre la limite, le taux de variation moyen et la droite sécante;
• B9. faire le lien entre la limite, le taux de variation instantané et la droite tangente;

Module B : 

RAS 8

• C1. faire le lien entre la limite, le taux de variation et la dérivée d’une fonction;
• C2. utiliser les notations de Lagrange et de Leibniz pour représenter des dérivées;
• C3. expliquer, à l’aide d’exemples, comment la dérivée d’une fonction est liée à la pente de la tangente à la courbe représentative de cette fonction;
• C4. analyser des exemples de fonctions non dérivables en des points bien déterminés;
• C5. faire le lien entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée;
• C6. utiliser la définition de la dérivée pour prouver et appliquer les règles de dérivation d’une puissance, d’une somme, d’une différence, d’un produit et d’un quotient de fonctions dérivables dans un intervalle donné;

RAS 9

• C7. expliquer, à l’aide d’exemples, la règle de dérivation en chaîne d’une fonction composée;
• C8. appliquer la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction implicite;
• C9. établir la relation entre la dérivée d’une fonction et celle de sa fonction réciproque;
• C10. déterminer les dérivées successives d’une fonction;

Module C : 

RAS 10

• D1. utiliser la dérivée première pour calculer la pente et trouver l’équation de la tangente en un point donné sur une courbe définie par son équation;
• D2. expliquer que le signe de la dérivée première d’une fonction indique que celle-ci croît ou décroît, et que le signe de sa dérivée seconde indique que sa courbe représentative est concave vers le haut ou vers le bas;
• D3. utiliser la dérivée première d’une fonction pour déterminer ses extremums relatifs;
• D4. distinguer, dans un intervalle donné, entre les extremums relatifs d’une fonction et ses extremums absolus;
• D5. utiliser la dérivée seconde d’une fonction pour déterminer les points d’inflexion et la nature des extremums;

RAS 11

• D6. utiliser une méthode systématique fondée sur le calcul différentiel, pour esquisser le graphique des fonctions polynomiales;
• D7. expliquer, à l’aide d’exemples appropriés, la règle de l’Hospital et l’utiliser pour déterminer la limite d’une fonction dans le cas où celle-ci tend vers une forme indéterminée 0/0 ou ∞/∞;
• D8. utiliser une méthode systématique fondée sur le calcul différentiel, pour esquisser le graphique des fonctions rationnelles et irrationnelles;
• D9. comparer des graphiques tracés au moyen d’une méthode systématique fondée sur le calcul différentiel, et à l’aide d’un outil technologique approprié;

RAS 12

• D10. calculer au moyen de la dérivée le taux de variation lié dans un contexte de résolution de problèmes concrets;
• D11. résoudre au moyen de la dérivée des problèmes concrets d’optimisation ayant trait à d’autres disciplines.

Module D : 

RAS 13

• E1. expliquer, à l’aide d’exemples simples, comment la somme de Reimann peut être utilisée pour représenter l’aire sous la courbe d’une fonction polynomiale;

RAS 14

• E2. faire le lien entre la somme de Riemann et le symbole d’intégration de Leibniz ∫ (sorte de S allongé) pour représenter l’aire sous la courbe;
• E3. déterminer les primitives des fonctions algébriques dans le cadre de résolution de problèmes impliquant des intégrales;
• E4. identifier l’intégrale indéfinie ∫ f(x) dx comme la somme d’une primitive F(x) de f (x) et d’une constante c;
• E5. décrire la signification du théorème fondamental du calcul intégral en expliquant que  l’intégrale définie , entre les bornes a et b, est le nombre F(b) - F(a);
• E6. faire le lien entre la valeur de l’intégrale entre x = a et x = b et l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses sur l’intervalle [ a , b ];
• E7. utiliser les règles d’intégration ci-après pour déterminer une primitive d’une fonction polynomiale :

            

• E10. utiliser le concept de l’intégrale définie pour calculer l’aire comprise entre la courbe représentative de la fonction f(x) et l’axe des abscisses si : f(x) est de signe constant sur un intervalle donné OU f(x) est de signe variable sur un intervalle donné;

RAS 15

• E8. déterminer, à l’aide d’un outil technologique approprié, la valeur de l’intégrale définie d’une fonction dans l’intervalle [a , b ];
• E9. utiliser la technique d’intégration par changement de variable pour résoudre des problèmes;
• E10. utiliser le concept de l’intégrale définie pour calculer l’aire comprise entre la courbe représentative de la fonction f(x) et l’axe des abscisses si : f(x) est de signe constant sur un intervalle donné OU f(x) est de signe variable sur un intervalle donné;
• E11. utiliser le concept de l’intégrale définie pour calculer l’aire comprise entre deux courbes, sur un intervalle donné;
• E12. résoudre des équations différentielles du premier ordre, de la forme dy/dx = f(x), afin d’analyser des situations relevant d’autres disciplines;